Inversion locale, fonction implicite, formule de Taylor-Collection Bien Maîtriser les Mathématiques

Ce fascicule de calcul différentiel s’adresse aux étudiants de L3 de Mathématiques, de Masters de Mathématiques Pures et Appliquées, aux étudiants des Écoles d’Ingénieurs, ainsi qu’aux étudiants qui préparent le C.A.P.E.S. et l’Agrégation de Mathématiques. Il traite de deux théorèmes importants : celui de l’inversion locale et celui des fonctions implicites, à la base de l’analyse et de la géométrie différentielle. Il traite aussi des différentes formules de Taylor. Il propose à la fois des rappels de cours et des exercices corrigés de façon particulièrement détaillée, classés par ordre de difficulté croissante. Le lecteur peut ainsi progresser à son rythme dans cette discipline. Les exercices proposés permettent aussi au lecteur de maîtriser un large spectre d’exemples. Une fois ces notions assimilées, celui-ci pourra sans difficultés s’engager dans des études plus avancées.Table des matières1 Prérequis1.1 Espaces normés, espaces de Banach1.2 Applications différentiables1.3 Quelques propriétés classiques 1.4 Quelques exemples1.5 Différentielles partielles1.6 Le théorème de la moyenne (ou des accroissements finis)1.7 Différentielles d’ordre supérieur1.7.1 Applications de classe C1 1.7.2 Applications p fois différentiables1.7.3 Le théorème de Schwarz 1.8 Suites et séries d’applications différentiables 2 Inversion locale2.1 Rappels de cours 2.1.1 Notion de difféomorphisme 2.1.2 Conjugaison 2.1.3 Le théorème d’inversion locale 2.1.4 Immersions, submersions2.1.5 Généralisation - le théorème du rang constant -2.1.6 Un résultat utile 2.2 Exercices 3 Fonctions implicites 3.1 Rappels de cours 3.2 Exercices4 Formule de Taylor 4.1 Rappels de cours 4.1.1 Les formules de Taylor4.1.2 Analyticité4.2 Exercices